TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ( NINH THUẬN)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG – NĂM HỌC: 2014 – 2015

Câu 1: (4 đ)
Cho
là các số không âm. Chứng minh rằng

Câu 2: (3 đ)
Cho dãy số
được xác định như sau:
với n là số nguyên dương. Tìm giới hạn của dãy số sau:

Câu 3: (3 đ)
Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của
đều có dạng
với k là số nguyên dương.
Câu 4: (3 đ)
Cho (O) được chia thành 7 cung bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tô 7 cung bằng 3 màu xanh, đỏ và vàng. Biết rằng hai cách tô màu thu được bằng một phép quay tâm O được coi là giống nhau.
Câu 5: (4 đ)
Trong mặt phẳng, cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và có trực tâm H. Trên cung BC không chứa điểm A của (O), lấy điểm P sao cho P không trùng với B và C. Lấy điểm D sao cho APCD là hình bình hành và gọi K là trực tâm của tam giác ACD. Gọi E và F tương ứng là hình chiếu vuông góc của K trên các đường thẳng BC và AB. Chứng minh đường thẳng EF đi qua trung điểm của HK.
Câu 6: (3 đ)
Tìm tất cả các hàm số f:
thỏa mãn:


------------- HẾT -----------